🌱 مسئله احتمال انتخاب خیار 🥒

در یک باغچه 12 بوته گوجه فرنگی، 9 بوته خیار و 5 بوته بادمجان وجود دارد. اگر یک گیاه به طور تصادفی انتخاب شود و معلوم شود که گوجه فرنگی نیست، احتمال اینکه خیار باشد چقدر است؟ 🤔

---

📝 صورت مسئله

تعداد بوته‌های گوجه فرنگی: 12 🍅

تعداد بوته‌های خیار: 9 🥒

تعداد بوته‌های بادمجان: 5 🍆

اگر یک گیاه به طور تصادفی انتخاب شود و گوجه فرنگی نباشد، احتمال اینکه خیار باشد چقدر است؟ ❓

💡 روش اول: استفاده از تعریف احتمال شرطی

احتمال شرطی به ما می‌گوید که اگر یک رویداد (مثلاً عدم انتخاب گوجه فرنگی) رخ داده باشد، احتمال وقوع رویداد دیگری (مثلاً انتخاب خیار) چقدر است. فرمول احتمال شرطی به این صورت است:

$$P\left(A\right|B)=\frac{P(A\cap B)}{P\left(B\right)}$$

در این مسئله:

• A: انتخاب خیار
• B: عدم انتخاب گوجه فرنگی

بنابراین، ما می‌خواهیم P(A|B) را محاسبه کنیم.

محاسبه P(A ∩ B): احتمال انتخاب خیار و عدم انتخاب گوجه فرنگی

این همان احتمال انتخاب یک بوته خیار است که برابر است با:

$$P(A\cap B)=\frac{9}{12+9+5}=\frac{9}{26}$$

محاسبه P(B): احتمال عدم انتخاب گوجه فرنگی

این برابر است با احتمال انتخاب خیار یا بادمجان:

$$P\left(B\right)=\frac{9}{+}=\frac{14}{26}$$

محاسبه P(A|B): احتمال انتخاب خیار با توجه به عدم انتخاب گوجه فرنگی

با استفاده از فرمول احتمال شرطی:

$$P\left(A\right|B)=\frac{\frac{9}{26}}{\frac{14}{26}}=\frac{9}{14}\approx 0.643$$

✨ روش دوم: استفاده از فضای نمونه‌ای کاهش یافته

از آنجایی که می‌دانیم گیاه انتخاب شده گوجه فرنگی نیست، فضای نمونه‌ای ما فقط شامل بوته‌های خیار و بادمجان است. بنابراین:

• تعداد کل بوته‌ها در فضای نمونه‌ای جدید: 9 (خیار) + 5 (بادمجان) = 14
• تعداد بوته‌های خیار: 9

بنابراین، احتمال انتخاب خیار برابر است با:

$$P\left(\text{خیار}\right|\text{عدم گوجه فرنگی})=\frac{9}{14}\approx 0.643$$

💫 روش سوم: جدول احتمال

	گوجه فرنگی (12)	خیار (9)	بادمجان (5)	جمع
انتخاب	12	9	5	26

با توجه به اینکه گیاه انتخاب شده گوجه فرنگی نیست، ما فقط به ستون‌های خیار و بادمجان نگاه می‌کنیم. احتمال انتخاب خیار در این حالت برابر است با:

$$P\left(\text{خیار}\right|\text{عدم گوجه فرنگی})=\frac{9}{9+5}=\frac{9}{14}\approx 0.643$$

✅ نتیجه‌گیری

احتمال اینکه گیاه انتخاب شده خیار باشد، با فرض اینکه گوجه فرنگی نباشد، تقریباً 0.643 یا 64.3% است. 🎉

📚 اصطلاحات کلیدی 📖

• احتمال (Probability): شانس وقوع یک رویداد.
• فضای نمونه‌ای (Sample Space): مجموعه تمام نتایج ممکن یک آزمایش.
• رویداد (Event): یک زیرمجموعه از فضای نمونه‌ای.
• احتمال شرطی (Conditional Probability): احتمال وقوع یک رویداد با توجه به اینکه رویداد دیگری رخ داده است.